Dalam grup kita mengenal subgrub normal. Dalam ring terdapat subring-subring tertentu yang mempunyai peranan mirip dengan subgrup normal. Subring yang peranannya mirip subgroup normal disebut ideal, yakni subring dari suatu ring yang memilki sifat-sifat khusus.

Definisi 1.1

Diketahui ring R dan I ∁ maka I disebut ideal dari ring R jika memenuhi

aksioma-aksioma berikut:

  1. I subring dari R
  2. ∀ x ∈I,∀r ∈ R, maka xr ∈ I dan rx ∈ I

Definisi 1.2

Misalkan R adalah suatu ring dan I ∁ R dengan I≠∅, I disebut Ideal kiri dari R jika dan hanya jika:

       i    ∀ x ∈ I berlaku (x – y) ∈ I

      ii  (∀ x ∈ R) (∀ x ∈ I) berlaku rx ∈ I

Misalkan R adalah suatu ring dan dengan I≠∅, I disebut Ideal kanan dari R jika dan hanya jika:

  1. ∀ x,y ∈ I berlaku (x – y) ∈ I
  2. (∀ x ∈ R) (∀ x ∈ I) berlaku rx ∈I

Misalkan R adalah suatu ring dan I ∁ R dengan I≠∅, I disebut Ideal dua sisi (ideal kiri sekaligus ideal kanan), disebut juga Ideal dari R jika dan hanya jika

  1. ∀ x,y ∈ I berlaku (x – y) ∈ I
  2. ∀ x ∈ R) (∀ x ∈ I) berlaku rx, xr ∈ I 

Ideal I disebut ideal trivial jika I = {0}dan disebut ideal sejati jika I ≠ R. Ideal I dinamakan ideal tak sejati jika I = R. Ring yang tidak mempunyai ideal sejati disebut ring sederhana (simple ring). Apabila R adalah ring komutatif maka ideal kanan juga merupakan ideal kiri.

Catatan:

  1. Ideal pasti merupakan subring dan tidak sebaliknya.
  2. Syarat ke-2, (∀ r ∈ R)(∀x ∈ I) berlaku rx,xr ∈ I berarti bahwa rx≠ xr.

Selanjutnya Download saja ya jangan lupa tuk tinggalkan Komen tentang Blog ini.

Klink Link ini: IDEAL DAN SIFAT-SIFATNYA